Finiteness Conditions for Graph Algebras over Tropical Semirings

Connection matrices for graph parameters with values in a field have been introduced by M. Freedman, L. Lovász and A. Schrijver (2007). Graph parameters with connection matrices of finite rank can be computed in polynomial time on graph classes of bounded tree-width. We introduce join matrices, a generalization of connection matrices, and allow graph parameters to take values in the tropical rings (max-plus algebras) over the real numbers. We show that rank-finiteness of join matrices implies that these graph parameters can be computed in polynomial time on graph classes of bounded clique-width. In the case of graph parameters with values in arbitrary commutative semirings, this remains true for graph classes of bounded linear clique-width. B. Godlin, T. Kotek and J.A. Makowsky (2008) showed that definability of a graph parameter in Monadic Second Order Logic implies rank finiteness. We also show that there are uncountably many integer valued graph parameters with connection matrices or join matrices of fixed finite rank. This shows that rank finiteness is a much weaker assumption than any definability assumption. Résumé. Les matrices de connection pour des fonctions sur les graphes á valeurs dans un corps ont étés introduites par M. Freedman, L. Lovász and A. Schrijver (2007). Une fonctions sur les graphes ayant des matrices de connection de rang fini peut être calculée en temps polynomial sur sur toute famille de graphes de largeur arborescente (”tree-width”) bornée. Nous introduisons des matrices de joimture (”join matrices”) qui généralisent les matrices de connection, et nous permettons aux fonctions sur les graphes de prendre leurs valeurs dans des semianneaux tropicaux réels. Nous montrons qu’une fonctions sur les graphes ayant des matrices de jointure de rang fini peut être calculée en temps polynomial sur des graphes de largeur de clique (”clique-width”) bornée. Dans le cas des semi-anneaux commutatifs, cela reste vrai pour les graphes de largeur de clique linéaire bornée. B. Godlin, T. Kotek and J.A. Makowsky (2008) ont montré que certaines hypoths̀es de definissabilité en Logique du Second Ordre Monadique concernant des opérations sur les graphes entraine la finitude des rangs. Nous exhibons un ensemble non dénombrable d’opérations ayant une matrice de connection et des matrices de joimture de rang fini. Cela démontre que l’hypothèse de rang fini est beaucoup plus faible que l’hypothèse de definissabilité.